Urodził się w Warszawie 28 stycznia 1903 roku. Pobyt w Warszawie nie był zbyt długi i resztę młodzieńczych lat Aleksander spędził na Ukrainie, gdzie beztroskie dzieciństwo skończyło się wraz ze śmiercią ojca, gdy Aleksander miał zaledwie osiem lat. Jako dwunastoletni chłopiec podjął już pracę, aby pomóc matce. Kiedy miał niespełna czternaście lat, nastąpiło rozstanie z matką. Pozostał zupełnie sam, zdany na własną umiejętność radzenia sobie. Mieszkając w Humaniu, związał się z polskim środowiskiem harcerskim, gdzie znalazł przyjaciół, którzy w pewnym stopniu zastępowali mu rodzinę. Kamiński, będąc chłopcem w wieku, w którym szczególnie formuje się charakter i buduje się system wartości, żył życiem harcerza polskiego na obczyźnie. Czytał literaturę polską, szczególnie dzieła Mickiewicza i Słowackiego. Umiłował sobie szczególnie trylogię Sienkiewicza. Znalazł również uznanie wśród lokalnej społeczności swymi nie małostkowymi czynami. Organizował więc wyrąb lasu, by było czym ogrzać szkołę i internat. Obronił prawosławnego popa przed napaścią bolszewików, wyciągnął z wody topielca, pracował kopiąc groby czy wyrabiając cukierki, aby zdobyć środki pieniężne. Związał się też z humańskim gniazdem harcerskim, rozwiązanym wkrótce przez bolszewików.
Do kraju powrócił w 1921 roku, przekraczając nielegalnie granicę i zajął się poszukiwaniem matki, co wkrótce mu się udało. Po powrocie do Polski zamieszkał w Pruszkowie, gdzie podjął pracę jako wychowawca w zakładach J. Cz. Babickiego dla dzieci osieroconych. Jednocześnie uczył się, a w 1922 r. zdał maturę i wstąpił na Uniwersytet Warszawski, gdzie studiował historię i archeologię. Pracę magisterską napisał w 1928 r., a przez cały ten czas nie zapominał o pracy w harcerstwie. Był więc komendantem hufca pruszkowskiego, organizował liczne obozy i kursy, wizytował drużyny harcerskie, aż wreszcie został harcmistrzem. Zajął się w tym czasie też pisaniem opowieści i artykułów do ówczesnych czasopism. Po przeniesieniu się do Warszawy, Kamiński w pracy harcerskiej skoncentrował się na tworzeniu ruchu zuchowego. Na skutek pogorszenia się zdrowia, w 1931 r. wyjechał wraz z rodziną do Zakopanego. W latach 1933-39 organizował i prowadził kursy dla kadry harcerskiej w Bremej, Nierodzimiu i Górkach Wielkich na Śląsku Cieszyńskim. Uczestnicy kursu wiązali się na zawsze całym sercem z górskim ośrodkiem i jego komendantem – druhem Kamińskim „Kamykiem”. Zajął się też opracowywaniem koncepcji systemu zuchowego. Korzystał z doświadczeń angielskich odpowiedników zuchów „wilczków”, obmyślał cykl zabaw sprawnościowych dostosowanych do wieku i wyobraźni polskich dzieci, tworzył też piosenki i tańce. W tym też czasie powstała tzw. zuchowa trylogia – instruktaż. Zawarł w nich metodę i treści zuchowej pracy, scharakteryzował ton i nastrój zuchowych zbiórek.
Wybuch II wojny światowej przerwał dotychczasową działalność Kamińskiego w Górkach Wielkich, a wówczas przeniósł się on do Warszawy, aby wziąć udział w jej obronie. Po kapitulacji Warszawy zajął się organizowaniem pierwotnych form ruchu oporu. Już we wrześniu 1939 r. zajął się organizowaniem „Szarych Szeregów”, nie przerywając jednak pracy w podziemnym harcerstwie. W listopadzie zaczął wydawać „Biuletyn Informacyjny”, którego był inicjatorem i naczelnym redaktorem. Biuletyn ten stał się wkrótce najpopularniejszą gazetą konspiracyjną w Polsce, której celem było podtrzymywanie ducha polskiego, wspieranie słabych, a wśród nich również Żydów. Dużym jego osiągnięciem było zorganizowanie w roku 1940 organizacji sabotażowej o nazwie „Wawer” – Kamiński był jego twórcą i komendantem. W czasie wolnym zajmował się też pisarstwem, głównie tematyką wojenną.
Po wyzwoleniu rozpoczął pracę na Uniwersytecie Łódzkim w katedrach pedagogiki społecznej i ogólnej. Ze względu na swoją wcześniejszą działalność był represjonowany przez ówczesne władze, aż wreszcie z początkiem 1950 r. został usunięty z uniwersytetu i przez siedem lat pozostawał bez pracy. Na uczelnię powrócił dopiero w 1958 roku. Z łódzką katedrą pedagogiki społecznej związany był aż do emerytury (1973). W międzyczasie jednak nie próżnował. W 1947 roku uzyskał tytuł doktora filozofii, pisząc pracę doktorancką na temat „Metoda harcerska w wychowywaniu i nauczaniu szkolnym”. Habilitował się w 1959 roku, a trzy lata później objął kierownictwo katedry pedagogiki społecznej; w 1969 został mianowany profesorem.
Zmarł 15 marca 1978 roku w wieku 75 lat. Pochowany został na Powązkach w Kwaterze Białych Krzyży.
